Квадратный корень и его свойства: ОГЭ по математике

Квадратный корень из неотрицательного числа a — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a. Тема охватывает определение, свойства корней (произведение, частное, возведение в квадрат), вынесение и внесение множителя, избавление от иррациональности, а также сравнение и оценку выражений…

Что нужно знать

• Арифметический квадратный корень из a (a ≥ 0) — неотрицательное число x, такое что x² = a. Обозначение: √a.
• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: √a имеет смысл только при a ≥ 0.
• Квадрат корня: (√a)² = a при a ≥ 0.
• Корень из квадрата: √(a²) = |a| для любого a.
• Свойство произведения: √(ab) = √a · √b при a ≥ 0, b ≥ 0.
• Свойство частного: √(a/b) = √a / √b при a ≥ 0, b > 0.

Термины и понятия

• Арифметический квадратный корень: неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению.
• Подкоренное выражение: число или выражение, стоящее под знаком корня.
• Иррациональное число: число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби; корень из числа, не являющегося полным квадратом…
• Полный квадрат: число, являющееся квадратом целого числа (0, 1, 4, 9, 16, 25, …).
• Вынесение множителя из-под корня: преобразование √(a²b) = a√b (a ≥ 0).
• Внесение множителя под корень: преобразование a√b = √(a²b) (a ≥ 0).
• Сопряжённое выражение: для выражения вида a + √b сопряжённым является a − √b; используется для избавления от иррациональности в знаменателе.
• Модуль числа: |a| = a при a ≥ 0, |a| = −a при a < 0; используется в формуле √(a²) = |a|.

Частые ошибки

• Считают, что √(a²) = a без модуля, забывая, что при отрицательном a результат равен |a|.
• Неверно применяют свойство произведения: √(a + b) ≠ √a + √b.
• Выносят множитель из-под корня без учёта знака: √(a²b) = a√b только при a ≥ 0.
• Забывают, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, и находят корень из отрицательного числа.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Квадратный корень и его свойства» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Натуральные числа и действия с ними
• Обыкновенные дроби и действия с ними
• Десятичные дроби и действия с ними
• Смешанные числа
• Положительные и отрицательные числа, модуль числа
• Сравнение рациональных чисел

← Предыдущая тема: Степень с натуральным показателем
Следующая тема: Иррациональные числа, действительные числа

Все темы: ОГЭ по математике