Прогрессии: арифметическая и геометрическая: ЕГЭ по математике

Прогрессии — арифметическая и геометрическая — это последовательности чисел, задаваемые рекуррентно или формулой n-го члена. Для ЕГЭ важно знать определения, формулы n-го члена, суммы первых n членов, характеристики (разность, знаменатель), а также уметь решать задачи на нахождение членов, сумм…

Что нужно знать

• Арифметическая прогрессия: каждый следующий член получается прибавлением постоянного числа d (разности).
• Формула n-го члена арифметической прогрессии: a_n = a_1 + (n-1)d.
• Характеристическое свойство арифметической прогрессии: a_n = (a_{n-1} + a_{n+1})/2 (среднее арифметическое соседних).
• Сумма первых n членов арифметической прогрессии: S_n = (a_1 + a_n)/2 * n = (2a_1 + (n-1)d)/2 * n.
• Геометрическая прогрессия: каждый следующий член получается умножением на постоянное число q (знаменатель), q ≠ 0.
• Формула n-го члена геометрической прогрессии: b_n = b_1 * q^{n-1}.

Термины и понятия

• Арифметическая прогрессия: последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того…
• Разность арифметической прогрессии (d): число, на которое увеличивается каждый следующий член; d = a_{n+1} - a_n.
• Геометрическая прогрессия: последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же…
• Знаменатель геометрической прогрессии (q): число, на которое умножается каждый следующий член; q = b_{n+1}/b_n.
• Формула n-го члена: выражение, позволяющее найти любой член прогрессии по его номеру.
• Сумма первых n членов: сумма a_1 + a_2 + ... + a_n (для арифметической) или b_1 + b_2 + ... + b_n (для геометрической).
• Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: геометрическая прогрессия, у которой |q| < 1; её сумма существует и вычисляется по формуле…

Частые ошибки

• Путают формулы арифметической и геометрической прогрессий (например, применяют формулу суммы арифметической прогрессии для геометрической).
• Неправильно определяют номер члена прогрессии (например, при нахождении a_n подставляют n вместо n-1 в показатель).
• Ошибки в знаках при работе с отрицательными разностью или знаменателем.
• Забывают, что для геометрической прогрессии q ≠ 0, и делят на q без проверки.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Прогрессии: арифметическая и геометрическая» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Действия с целыми числами, делимость, остатки
• Обыкновенные и десятичные дроби, действия с ними
• Степени с целым и рациональным показателем, корни
• Логарифмы: определение и свойства
• Модуль числа, преобразования выражений с модулем
• Тригонометрия: радианная мера, основные тождества

← Предыдущая тема: Формулы приведения и преобразования тригонометрических выражений
Следующая тема: Линейные и квадратные уравнения, теорема Виета

Все темы: ЕГЭ по математике