Степени с целым и рациональным показателем, корни: ЕГЭ по математике

Тема охватывает определение и свойства степеней с целым и рациональным показателем, а также арифметических корней. Необходимо уверенно преобразовывать выражения, содержащие степени и корни, решать уравнения и сравнивать числа.

Что нужно знать

• Определение степени с натуральным показателем: a^n = a·a·...·a (n раз), a ≠ 0 для n=0, a^0=1.
• Степень с целым отрицательным показателем: a^{-n} = 1/a^n (a ≠ 0).
• Свойства степеней: a^m·a^n = a^{m+n}, a^m:a^n = a^{m-n}, (a^m)^n = a^{mn}, (ab)^n = a^n b^n, (a/b)^n = a^n/b^n.
• Арифметический квадратный корень: √a = b, если b ≥ 0 и b² = a. Для a ≥ 0.
• Корень n-й степени: ⁿ√a = b, если b ≥ 0 (для чётного n) и b^n = a. Для нечётного n – b любого знака.
• Свойства корней: √(ab) = √a·√b (a,b ≥ 0), √(a/b) = √a/√b (a ≥ 0, b > 0), (√a)² = a (a ≥ 0), √(a²) = |a|.

Термины и понятия

• Степень с натуральным показателем: выражение a^n, где a – основание, n – показатель, равное произведению n множителей, каждый из которых…
• Степень с целым отрицательным показателем: a^{-n} = 1/a^n для a ≠ 0.
• Арифметический квадратный корень: неотрицательное число b, квадрат которого равен a (a ≥ 0).
• Корень n-й степени: число b, n-я степень которого равна a. Для чётного n b ≥ 0, для нечётного n – любое.
• Рациональный показатель: показатель вида m/n, где m – целое, n – натуральное, n ≥ 2.
• Степень с рациональным показателем: a^{m/n} = ⁿ√(a^m) при a ≥ 0.

Частые ошибки

• Неправильное применение свойств степеней при сложении/вычитании: a^m + a^n ≠ a^{m+n}.
• Ошибки при возведении степени в степень: (a^m)^n = a^{mn}, а не a^{m+n}.
• Забывают про модуль при извлечении корня: √(a²) = |a|, а не просто a.
• Неверное вычисление отрицательной степени: a^{-n} = 1/a^n, а не -a^n.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Степени с целым и рациональным показателем, корни» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Действия с целыми числами, делимость, остатки
• Обыкновенные и десятичные дроби, действия с ними
• Логарифмы: определение и свойства
• Модуль числа, преобразования выражений с модулем
• Тригонометрия: радианная мера, основные тождества
• Формулы приведения и преобразования тригонометрических выражений

← Предыдущая тема: Обыкновенные и десятичные дроби, действия с ними
Следующая тема: Логарифмы: определение и свойства

Все темы: ЕГЭ по математике