Модуль числа, преобразования выражений с модулем: ЕГЭ по математике

Модуль числа — это расстояние от числа до нуля на координатной прямой; он всегда неотрицателен. Тема включает определение модуля, его свойства, решение уравнений и неравенств с модулем, а также преобразование выражений, содержащих модуль. На ЕГЭ по математике (профильный уровень) модуль встречается…

Что нужно знать

• Определение модуля: |a| = a, если a ≥ 0; |a| = -a, если a < 0.
• Геометрический смысл: |a| — расстояние от точки a до начала координат.
• Свойства модуля: |a| ≥ 0; |a| = |-a|; |ab| = |a|·|b|; |a/b| = |a|/|b| при b ≠ 0; |a+b| ≤ |a| + |b| (неравенство треугольника); |a-b| — расстояние между точками a и b.
• Уравнение |x| = a: при a < 0 решений нет; при a = 0 x = 0; при a > 0 x = ±a.
• Уравнение |f(x)| = g(x) равносильно системе: g(x) ≥ 0 и (f(x) = g(x) или f(x) = -g(x)).
• Неравенство |x| < a (a > 0) равносильно -a < x < a; |x| > a равносильно x < -a или x > a.

Термины и понятия

• Модуль числа: неотрицательное число, равное самому числу, если оно неотрицательно, и противоположному числу, если оно отрицательно.
• Подмодульное выражение: выражение, стоящее внутри знака модуля.
• Раскрытие модуля: замена выражения с модулем на выражение без модуля с учётом знака подмодульного выражения.
• Метод интервалов для модулей: разбиение числовой прямой на промежутки, на которых знаки подмодульных выражений постоянны, и…
• Неравенство треугольника: |a + b| ≤ |a| + |b|, равенство достигается, когда a и b одного знака.

Частые ошибки

• Забывают, что модуль не может быть отрицательным, и пишут |a| = -a без условия a < 0.
• При решении уравнений вида |f(x)| = g(x) не проверяют условие g(x) ≥ 0, что приводит к появлению посторонних корней.
• Ошибки в раскрытии модуля в неравенствах: путают знаки в двойном неравенстве или в совокупности.
• Неверное применение свойств модуля: например, считают, что |a + b| = |a| + |b| всегда, или что |a - b| = |a| - |b|.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Модуль числа, преобразования выражений с модулем» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Действия с целыми числами, делимость, остатки
• Обыкновенные и десятичные дроби, действия с ними
• Степени с целым и рациональным показателем, корни
• Логарифмы: определение и свойства
• Тригонометрия: радианная мера, основные тождества
• Формулы приведения и преобразования тригонометрических выражений

← Предыдущая тема: Логарифмы: определение и свойства
Следующая тема: Тригонометрия: радианная мера, основные тождества

Все темы: ЕГЭ по математике