Действия с целыми числами, делимость, остатки: ЕГЭ по математике

Тема охватывает арифметические операции с целыми числами (сложение, вычитание, умножение, деление с остатком), свойства делимости (признаки делимости, НОД и НОК, разложение на простые множители) и операции с остатками. Эти знания необходимы для решения заданий базового и повышенного уровня ЕГЭ по…

Что нужно знать

• Целые числа: положительные, отрицательные и нуль. Модуль числа, сравнение целых чисел.
• Арифметические операции с целыми числами: правила знаков при сложении, вычитании, умножении и делении.
• Деление с остатком: для любых целых a и b (b ≠ 0) существуют единственные q и r такие, что a = b·q + r, где 0 ≤ r < |b|.
• Делимость: a делится на b (b ≠ 0), если существует целое k такое, что a = b·k.
• Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 (и другие).
• Простые и составные числа. Основная теорема арифметики: любое натуральное число >1 единственным образом разлагается на простые множители.

Термины и понятия

• Целое число: число из множества {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
• Модуль числа: расстояние от числа до нуля на числовой прямой; |a| = a при a ≥ 0, |a| = -a при a < 0.
• Делимость: целое число a делится на целое b (b ≠ 0), если существует целое k такое, что a = b·k.
• Делитель: число b называется делителем числа a, если a делится на b без остатка.
• Кратное: число a называется кратным числа b, если a делится на b без остатка.
• Деление с остатком: представление числа a в виде a = b·q + r, где 0 ≤ r < |b|, q — неполное частное, r — остаток.
• Простое число: натуральное число больше 1, имеющее ровно два делителя: 1 и само себя.
• Составное число: натуральное число больше 1, имеющее более двух делителей.

Частые ошибки

• Ошибки в правилах знаков при умножении и делении отрицательных чисел.
• Неправильное применение признаков делимости (например, путают признак делимости на 3 и на 9).
• Забывают, что остаток всегда неотрицательный и меньше делителя.
• Ошибки при нахождении НОД и НОК: путают эти понятия или неправильно раскладывают на простые множители.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Действия с целыми числами, делимость, остатки» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Обыкновенные и десятичные дроби, действия с ними
• Степени с целым и рациональным показателем, корни
• Логарифмы: определение и свойства
• Модуль числа, преобразования выражений с модулем
• Тригонометрия: радианная мера, основные тождества
• Формулы приведения и преобразования тригонометрических выражений

Следующая тема: Обыкновенные и десятичные дроби, действия с ними

Все темы: ЕГЭ по математике