Тригонометрия: радианная мера, основные тождества: ЕГЭ по математике

Тема охватывает радианную меру углов, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса, основные тригонометрические тождества (связь между функциями одного угла, формулы приведения, чётность/нечётность, периодичность). На ЕГЭ по математике (профильный уровень) эти знания необходимы для решения…

Что нужно знать

• Радианная мера угла: 1 радиан — центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу. Связь с градусами: 180° = π радиан, 1° = π/180 рад, 1 рад = 180°/π ≈ 57,3°.
• Определение тригонометрических функций через координаты точки на единичной окружности: для угла α точка M(x, y) на окружности радиуса 1, тогда sin α = y, cos α = x, tg α = y/x (x ≠ 0), ctg α = x/y (y ≠ 0).
• Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.
• Связь тангенса и котангенса с синусом и косинусом: tg α = sin α / cos α (cos α ≠ 0), ctg α = cos α / sin α (sin α ≠ 0), tg α · ctg α = 1.
• Формулы, связывающие тангенс и косинус (или синус): 1 + tg²α = 1/cos²α (cos α ≠ 0), 1 + ctg²α = 1/sin²α (sin α ≠ 0).
• Чётность и нечётность: cos(−α) = cos α, sin(−α) = −sin α, tg(−α) = −tg α, ctg(−α) = −ctg α.

Термины и понятия

• Радианная мера угла: отношение длины дуги окружности, на которую опирается центральный угол, к радиусу этой окружности.
• Единичная окружность: окружность радиуса 1 с центром в начале координат.
• Синус угла α: ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1;0) на угол α против часовой стрелки (для положительных…
• Косинус угла α: абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1;0) на угол α.
• Тангенс угла α: отношение синуса угла α к косинусу того же угла (при cos α ≠ 0).
• Котангенс угла α: отношение косинуса угла α к синусу того же угла (при sin α ≠ 0).
• Основное тригонометрическое тождество: равенство sin²α + cos²α = 1, выполняющееся для любого угла α.
• Формулы приведения: формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции углов вида π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π ± α через функции угла…

Частые ошибки

• Путаница между градусами и радианами: неправильный перевод, например, считают π = 180°, но забывают, что 1 радиан ≈ 57°, и используют неверные коэффициенты.
• Ошибки в знаках тригонометрических функций по четвертям: например, считают sin(5π/6) отрицательным, хотя угол во II четверти, где синус положителен.
• Неправильное применение формул приведения: забывают менять функцию на кофункцию при π/2 и 3π/2 или неверно определяют знак.
• Игнорирование области определения при упрощении выражений: сокращают на sin α или cos α, не учитывая, что они могут быть равны нулю.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Тригонометрия: радианная мера, основные тождества» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Действия с целыми числами, делимость, остатки
• Обыкновенные и десятичные дроби, действия с ними
• Степени с целым и рациональным показателем, корни
• Логарифмы: определение и свойства
• Модуль числа, преобразования выражений с модулем
• Формулы приведения и преобразования тригонометрических выражений

← Предыдущая тема: Модуль числа, преобразования выражений с модулем
Следующая тема: Формулы приведения и преобразования тригонометрических выражений

Все темы: ЕГЭ по математике