Логарифмы: определение и свойства: ЕГЭ по математике

Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Тема включает определение логарифма, основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов (произведение, частное, степень, переход к новому основанию) и их применение в вычислениях и…

Что нужно знать

• Определение: log_a b = c ⇔ a^c = b, где a > 0, a ≠ 1, b > 0.
• Основное логарифмическое тождество: a^{log_a b} = b.
• Логарифм произведения: log_a (bc) = log_a b + log_a c (b > 0, c > 0).
• Логарифм частного: log_a (b/c) = log_a b − log_a c (b > 0, c > 0).
• Логарифм степени: log_a (b^r) = r · log_a b (b > 0, r — любое действительное число).
• Переход к новому основанию: log_a b = log_c b / log_c a (c > 0, c ≠ 1).

Термины и понятия

• Логарифм: log_a b — показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b (a > 0, a ≠ 1, b > 0).
• Основание логарифма: число a в записи log_a b, которое возводится в степень.
• Аргумент логарифма: число b в записи log_a b, которое получается в результате возведения основания в степень.
• Основное логарифмическое тождество: равенство a^{log_a b} = b для a > 0, a ≠ 1, b > 0.
• Десятичный логарифм: логарифм по основанию 10, обозначается lg b.
• Натуральный логарифм: логарифм по основанию e (e ≈ 2,718), обозначается ln b.
• Переход к новому основанию: формула log_a b = log_c b / log_c a, позволяющая заменить основание логарифма.

Частые ошибки

• Забывают про ограничения: основание a > 0, a ≠ 1; аргумент b > 0.
• Неверно применяют свойства: например, log_a (b + c) ≠ log_a b + log_a c.
• Путают логарифм произведения и логарифм степени: log_a (bc) ≠ log_a b · log_a c.
• Ошибки при возведении в степень отрицательных чисел и дробей: например, log_2 (−8) не существует.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Логарифмы: определение и свойства» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Действия с целыми числами, делимость, остатки
• Обыкновенные и десятичные дроби, действия с ними
• Степени с целым и рациональным показателем, корни
• Модуль числа, преобразования выражений с модулем
• Тригонометрия: радианная мера, основные тождества
• Формулы приведения и преобразования тригонометрических выражений

← Предыдущая тема: Степени с целым и рациональным показателем, корни
Следующая тема: Модуль числа, преобразования выражений с модулем

Все темы: ЕГЭ по математике