Линейные и квадратные уравнения, теорема Виета: ЕГЭ по математике

Тема охватывает линейные уравнения (ax = b), квадратные уравнения (ax² + bx + c = 0), формулу корней через дискриминант и теорему Виета. На ЕГЭ по математике (профильный и базовый уровни) эти знания применяются в заданиях на решение уравнений, в текстовых задачах, при исследовании квадратичной…

Что нужно знать

• Линейное уравнение ax = b: при a ≠ 0 единственный корень x = b/a; при a = 0 и b = 0 — бесконечно много решений; при a = 0 и b ≠ 0 — нет решений.
• Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0): дискриминант D = b² − 4ac. Если D > 0 — два различных действительных корня; D = 0 — один корень (кратности 2); D < 0 — нет действительных корней.
• Формула корней: x = (−b ± √D) / (2a).
• Теорема Виета: для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 сумма корней x₁ + x₂ = −p, произведение x₁x₂ = q. Для общего уравнения ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a.
• Обратная теорема Виета: если числа m и n таковы, что m + n = −p и mn = q, то они являются корнями уравнения x² + px + q = 0.
• Неполные квадратные уравнения: ax² = 0 (x = 0), ax² + bx = 0 (x = 0 или x = −b/a), ax² + c = 0 (корни есть только при −c/a ≥ 0).

Термины и понятия

• Линейное уравнение: уравнение вида ax = b, где a и b — известные числа, x — переменная.
• Квадратное уравнение: уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа, a ≠ 0.
• Приведённое квадратное уравнение: квадратное уравнение, у которого коэффициент при x² равен 1 (x² + px + q = 0).
• Дискриминант: выражение D = b² − 4ac, определяющее число и характер корней квадратного уравнения.
• Корень уравнения: значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
• Теорема Виета: утверждение о связи суммы и произведения корней приведённого квадратного уравнения с его коэффициентами.
• Неполное квадратное уравнение: квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
• Квадратный трёхчлен: многочлен вида ax² + bx + c, a ≠ 0.

Частые ошибки

• Забывают проверять условие a ≠ 0 в квадратном уравнении; при буквенном коэффициенте не рассматривают случай a = 0.
• Ошибки в знаках при вычислении дискриминанта: например, D = b² − 4ac, а не b² + 4ac.
• Потеря корня при делении обеих частей уравнения на выражение с переменной (например, делят на x, теряя корень x = 0).
• Неверное применение теоремы Виета к неприведённому уравнению (забывают делить на a).

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Линейные и квадратные уравнения, теорема Виета» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Рациональные уравнения и метод интервалов для неравенств
• Иррациональные уравнения и неравенства
• Показательные уравнения и неравенства
• Логарифмические уравнения и неравенства
• Тригонометрические уравнения: отбор корней
• Системы уравнений и неравенств

← Предыдущая тема: Прогрессии: арифметическая и геометрическая
Следующая тема: Рациональные уравнения и метод интервалов для неравенств

Все темы: ЕГЭ по математике