Вписанные и описанные окружности: ОГЭ по математике

Тема охватывает свойства окружностей, вписанных в треугольник и четырёхугольник, и описанных около них. Ключевые факты: центры вписанной и описанной окружностей треугольника, условия существования вписанной и описанной окружностей для четырёхугольников, формулы радиусов. На ОГЭ встречается в…

Что нужно знать

• Вписанная окружность треугольника касается всех его сторон; её центр — точка пересечения биссектрис.
• Описанная окружность треугольника проходит через все его вершины; её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
• Радиус вписанной окружности треугольника: r = S / p, где S — площадь, p — полупериметр.
• Радиус описанной окружности треугольника: R = a / (2 sin A) = abc / (4S).
• В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: a + c = b + d.
• Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180°.

Термины и понятия

• Вписанная окружность многоугольника: окружность, касающаяся всех сторон многоугольника (многоугольник описан около окружности).
• Описанная окружность многоугольника: окружность, проходящая через все вершины многоугольника (многоугольник вписан в окружность).
• Центр вписанной окружности треугольника: точка пересечения биссектрис.
• Центр описанной окружности треугольника: точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
• Полупериметр: половина периметра, p = P/2.
• Серединный перпендикуляр: прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно ему.

Частые ошибки

• Путают центры вписанной и описанной окружностей треугольника (биссектрисы vs серединные перпендикуляры).
• Применяют условие a + c = b + d для вписанной окружности, но путают порядок сторон (берут соседние вместо противоположных).
• Забывают, что для описанной окружности четырёхугольника суммы противоположных углов должны быть по 180°, а не просто равны между собой.
• Ошибаются в формуле R = a/(2 sin A), используя угол не против стороны a.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Вписанные и описанные окружности» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Основные понятия геометрии, аксиомы, углы
• Треугольники, признаки равенства треугольников
• Равнобедренный и прямоугольный треугольники
• Соотношения между сторонами и углами треугольника
• Теорема Пифагора
• Подобие треугольников

← Предыдущая тема: Окружность и круг, касательная, хорда
Следующая тема: Вписанные и центральные углы

Все темы: ОГЭ по математике