Числовые множества и числовые промежутки: ЕГЭ по математике

Тема охватывает основные числовые множества (натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные) и их запись в виде числовых промежутков (интервал, отрезок, полуинтервал, луч, открытый луч). Необходимо уметь определять принадлежность числа множеству, изображать промежутки на…

Что нужно знать

• Натуральные числа N = {1, 2, 3, ...} — числа для счёта предметов.
• Целые числа Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} включают натуральные, нуль и противоположные им отрицательные числа.
• Рациональные числа Q — числа вида m/n, где m ∈ Z, n ∈ N; представимы в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
• Иррациональные числа — действительные числа, не являющиеся рациональными; их десятичная запись бесконечна и непериодична (например, √2, π).
• Действительные числа R — объединение рациональных и иррациональных чисел; каждому действительному числу соответствует точка координатной прямой.
• Числовой промежуток — множество действительных чисел, удовлетворяющих неравенству (или системе неравенств) и изображаемое на координатной прямой.

Термины и понятия

• Натуральные числа: числа, используемые при счёте предметов; обозначаются N = {1, 2, 3, ...}.
• Целые числа: множество, состоящее из натуральных чисел, нуля и чисел, противоположных натуральным; обозначается Z.
• Рациональное число: число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое, n — натуральное; обозначаются Q.
• Иррациональное число: действительное число, не являющееся рациональным; его десятичная запись бесконечна и непериодична.
• Действительное число: любое рациональное или иррациональное число; множество действительных чисел обозначается R.
• Числовой промежуток: множество действительных чисел, задаваемое неравенством или системой неравенств и изображаемое на координатной прямой.
• Интервал (a; b): множество чисел x, для которых a < x < b; концы не включаются.
• Отрезок [a; b]: множество чисел x, для которых a ≤ x ≤ b; концы включаются.

Частые ошибки

• Путают круглые и квадратные скобки при записи промежутков: ставят квадратную скобку у бесконечности или включают конец, который не должен входить.
• Неверно определяют принадлежность числа промежутку: например, считают, что 2 ∈ [−3; 2), хотя правая граница не включена.
• Ошибаются при изображении промежутка на координатной прямой: забывают выколоть или закрасить конец, путают направление штриховки для лучей.
• При нахождении пересечения или объединения множеств не учитывают концы промежутков и теряют или добавляют граничные точки.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Числовые множества и числовые промежутки» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Действия с целыми числами, делимость, остатки
• Обыкновенные и десятичные дроби, действия с ними
• Степени с целым и рациональным показателем, корни
• Логарифмы: определение и свойства
• Модуль числа, преобразования выражений с модулем
• Тригонометрия: радианная мера, основные тождества

← Предыдущая тема: Задачи с целочисленными неизвестными
Следующая тема: Метод замены переменной и разложение на множители

Все темы: ЕГЭ по математике