Задачи с целочисленными неизвестными: ЕГЭ по математике

Тема охватывает решение текстовых задач, в которых неизвестные должны быть целыми числами (часто натуральными или неотрицательными). Основные методы: перебор с ограничениями, использование делимости, решение уравнений в целых числах (диофантовы уравнения), анализ остатков. Задачи встречаются в ЕГЭ…

Что нужно знать

• Целочисленные неизвестные часто обозначают количество предметов, людей, дней и т.п., поэтому они неотрицательны (или натуральны).
• При решении задач с целыми неизвестными полезно использовать делимость, остатки, разложение на множители.
• Для уравнения вида ax + by = c (a, b, c — целые) решения в целых числах существуют тогда и только тогда, когда c делится на НОД(a, b).
• Если решение существует, то общее решение можно записать в виде x = x0 + (b/d)t, y = y0 - (a/d)t, где d = НОД(a,b), t — целое.
• При переборе важно сужать диапазон возможных значений с помощью неравенств и условий задачи.
• В задачах на смеси, сплавы, движение, работу часто получаются уравнения с целыми коэффициентами, и требуется найти целые решения.

Термины и понятия

• Диофантово уравнение: уравнение с целыми коэффициентами, решения которого ищутся в целых числах.
• НОД (наибольший общий делитель): наибольшее натуральное число, делящее каждое из данных чисел без остатка.
• Линейное диофантово уравнение: уравнение вида ax + by = c, где a, b, c — целые числа, x, y — неизвестные целые.
• Общее решение линейного диофантова уравнения: формула, задающая все целые решения через параметр.
• Остаток от деления: число r (0 ≤ r < d), такое что a = dq + r.
• Перебор: метод решения, при котором последовательно проверяются возможные целые значения неизвестных из допустимого диапазона.

Частые ошибки

• Забывают, что неизвестные должны быть целыми (например, получают дробное количество предметов и не отбрасывают его).
• Не учитывают неотрицательность или натуральность неизвестных, включая в ответ отрицательные значения.
• При переборе не ограничивают диапазон, что приводит к потере времени или пропуску решений.
• Ошибки в применении условия существования решения линейного диофантова уравнения (забывают проверить делимость c на НОД(a,b)).

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Задачи с целочисленными неизвестными» занимает 1 занятие по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Задачи на движение, работу и проценты
• Задачи на смеси, сплавы и концентрации
• Экономические задачи: вклады, кредиты, оптимизация
• Задачи с параметром: графический и аналитический методы

← Предыдущая тема: Экономические задачи: вклады, кредиты, оптимизация
Следующая тема: Числовые множества и числовые промежутки

Все темы: ЕГЭ по математике