Первообразная и интеграл, площадь под графиком: ЕГЭ по математике

Первообразная и интеграл — ключевые понятия интегрального исчисления. Первообразная функции f(x) — это функция F(x), производная которой равна f(x). Неопределённый интеграл — множество всех первообразных. Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница и геометрически представляет…

Что нужно знать

• Первообразная функции f(x) на промежутке X — это функция F(x), такая что F'(x) = f(x) для всех x из X.
• Если F(x) — первообразная f(x), то любая другая первообразная имеет вид F(x) + C, где C — произвольная постоянная.
• Неопределённый интеграл ∫f(x)dx = F(x) + C — совокупность всех первообразных.
• Определённый интеграл ∫_a^b f(x)dx вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: ∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a), где F(x) — любая первообразная f(x).
• Геометрический смысл определённого интеграла: если f(x) ≥ 0 на [a,b], то интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком y=f(x), осью Ox и прямыми x=a, x=b.
• Если f(x) меняет знак на отрезке, то интеграл равен разности площадей: площади над осью минус площади под осью.

Термины и понятия

• Первообразная: функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка…
• Неопределённый интеграл: множество всех первообразных функции f(x) на промежутке, обозначается ∫f(x)dx = F(x) + C, где C — произвольная…
• Определённый интеграл: число, вычисляемое по формуле Ньютона-Лейбница ∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a), где F — первообразная f. Геометрически …
• Криволинейная трапеция: фигура, ограниченная графиком функции y=f(x) (f(x)≥0), осью Ox и прямыми x=a, x=b.
• Формула Ньютона-Лейбница: основная формула интегрального исчисления, связывающая определённый интеграл с первообразной: ∫_a^b f(x)dx = F(b)…
• Подынтегральная функция: функция f(x), стоящая под знаком интеграла.
• Пределы интегрирования: числа a и b в определённом интеграле, нижний и верхний пределы соответственно.

Частые ошибки

• Забывают прибавлять константу C при нахождении неопределённого интеграла.
• Неправильно применяют формулу Ньютона-Лейбница: путают порядок вычитания (F(a) - F(b) вместо F(b) - F(a)).
• Ошибки в таблице первообразных: например, ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, а не x^(n+1)/(n+1) без C, или путают знаки для sin и cos.
• При вычислении площади между графиками не проверяют, какая функция выше на данном отрезке, и берут модуль неправильно.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Первообразная и интеграл, площадь под графиком» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Линейная, квадратичная функции, их графики
• Степенная, показательная, логарифмическая функции
• Тригонометрические функции и их графики
• Область определения и множество значений функции
• Производная: геометрический и физический смысл
• Применение производной: монотонность и экстремумы

← Предыдущая тема: Наибольшее и наименьшее значение функции
Следующая тема: Треугольники: свойства, площади, теоремы синусов и косинусов

Все темы: ЕГЭ по математике