Треугольники: свойства, площади, теоремы синусов и косинусов: ЕГЭ по математике

Тема охватывает основные свойства треугольников, формулы площади, теоремы синусов и косинусов. Необходимо уверенно применять эти знания для решения планиметрических задач, включая нахождение элементов треугольника, доказательство соотношений и вычисление площадей.

Что нужно знать

• Сумма углов треугольника равна 180°.
• Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других.
• Признаки равенства и подобия треугольников.
• Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников.
• Медиана, биссектриса, высота и их свойства (например, медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине).
• Теорема косинусов: a² = b² + c² − 2bc·cos A.

Термины и понятия

• Медиана: отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса: отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.
• Высота: перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.
• Средняя линия: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
• Вписанная окружность: окружность, касающаяся всех сторон треугольника; её центр — точка пересечения биссектрис.
• Описанная окружность: окружность, проходящая через все вершины треугольника; её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров.
• Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на…
• Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и коэффициент пропорциональности равен 2R (R — радиус…

Частые ошибки

• Путаница между теоремой синусов и косинусов, неверное применение.
• Ошибки в знаках при использовании теоремы косинусов (особенно для тупоугольных треугольников).
• Неправильное определение соответствия сторон и углов в теореме синусов (синус угла относится к противолежащей стороне).
• Забывают, что площадь через две стороны и угол использует синус угла между ними.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Треугольники: свойства, площади, теоремы синусов и косинусов» занимает 3 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Четырёхугольники: параллелограмм, трапеция, ромб
• Окружность и круг: углы, хорды, касательные
• Вписанные и описанные многоугольники
• Векторы и координаты на плоскости
• Метод координат и площадей в планиметрических задачах

← Предыдущая тема: Первообразная и интеграл, площадь под графиком
Следующая тема: Четырёхугольники: параллелограмм, трапеция, ромб

Все темы: ЕГЭ по математике