Степенная, показательная, логарифмическая функции: ЕГЭ по математике

Тема объединяет три класса функций: степенные y = x^a, показательные y = a^x и логарифмические y = log_a x. Для ЕГЭ важно знать их области определения, множества значений, свойства монотонности, графики, а также уметь решать уравнения и неравенства, преобразовывать выражения и применять свойства в…

Что нужно знать

• Степенная функция y = x^a: свойства зависят от показателя a (целый, дробный, отрицательный). Область определения и множество значений меняются.
• Показательная функция y = a^x (a > 0, a ≠ 1): область определения — все действительные числа, множество значений — (0; +∞). При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает. График проходит через точку (0;1).
• Логарифмическая функция y = log_a x (a > 0, a ≠ 1): область определения — (0; +∞), множество значений — все действительные числа. При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает. График проходит через точку (1;0).
• Логарифм определён только для положительных чисел. Основное логарифмическое тождество: a^{log_a b} = b (b > 0).
• Свойства логарифмов: log_a (bc) = log_a b + log_a c; log_a (b/c) = log_a b − log_a c; log_a b^p = p log_a b; переход к новому основанию: log_a b = log_c b / log_c a.
• Показательные и логарифмические уравнения и неравенства решаются с учётом монотонности и ОДЗ. При потенцировании или логарифмировании необходимо проверять область допустимых значений.

Термины и понятия

• Степенная функция: функция вида y = x^a, где a — действительное число, x — переменная.
• Показательная функция: функция вида y = a^x, где a > 0, a ≠ 1.
• Логарифмическая функция: функция вида y = log_a x, где a > 0, a ≠ 1, x > 0.
• Логарифм: log_a b — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b (a > 0, a ≠ 1, b > 0).
• Область определения функции: множество всех допустимых значений аргумента.
• Множество значений функции: множество всех значений, которые принимает функция.
• Монотонность: свойство функции возрастать или убывать на промежутке.
• Основное логарифмическое тождество: a^{log_a b} = b при b > 0, a > 0, a ≠ 1.

Частые ошибки

• Забывают про область определения логарифма: не учитывают, что аргумент должен быть положительным.
• При решении логарифмических неравенств не меняют знак при основании 0 < a < 1.
• Путают свойства степенной функции для разных показателей (например, считают, что x^{1/2} определён при всех x).
• Неправильно применяют свойства логарифмов: log_a (b + c) ≠ log_a b + log_a c.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Степенная, показательная, логарифмическая функции» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Линейная, квадратичная функции, их графики
• Тригонометрические функции и их графики
• Область определения и множество значений функции
• Производная: геометрический и физический смысл
• Применение производной: монотонность и экстремумы
• Наибольшее и наименьшее значение функции

← Предыдущая тема: Линейная, квадратичная функции, их графики
Следующая тема: Тригонометрические функции и их графики

Все темы: ЕГЭ по математике