Линейная, квадратичная функции, их графики: ЕГЭ по математике

Тема охватывает линейную функцию y = kx + b и квадратичную функцию y = ax² + bx + c: их формулы, свойства, графики (прямая и парабола), взаимосвязь коэффициентов с расположением графика, а также применение этих знаний в заданиях ЕГЭ (построение, анализ, решение уравнений и неравенств).

Что нужно знать

• Линейная функция задаётся формулой y = kx + b, где k и b — числа, k ≠ 0 (при k = 0 функция постоянна). График — прямая.
• Коэффициент k (угловой коэффициент) определяет наклон прямой: k > 0 — возрастает, k < 0 — убывает; |k| влияет на крутизну.
• Коэффициент b — ордината точки пересечения прямой с осью Oy (при x = 0 y = b).
• Прямая y = kx + b пересекает ось Ox в точке x = -b/k (если k ≠ 0).
• Квадратичная функция задаётся формулой y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа, a ≠ 0. График — парабола.
• Знак коэффициента a определяет направление ветвей параболы: a > 0 — ветви вверх, a < 0 — ветви вниз.

Термины и понятия

• Линейная функция: функция вида y = kx + b, где k и b — действительные числа, k ≠ 0; график — прямая.
• Угловой коэффициент: число k в уравнении прямой y = kx + b, характеризующее наклон прямой к оси Ox (тангенс угла наклона).
• Квадратичная функция: функция вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — действительные числа, a ≠ 0; график — парабола.
• Парабола: геометрическое место точек, равноудалённых от фокуса и директрисы; график квадратичной функции.
• Вершина параболы: точка с координатами (x₀, y₀), где x₀ = -b/(2a), y₀ = y(x₀); точка экстремума квадратичной функции.
• Ось симметрии параболы: вертикальная прямая x = -b/(2a), относительно которой парабола симметрична.
• Дискриминант квадратного трёхчлена: выражение D = b² - 4ac, определяющее число корней уравнения ax² + bx + c = 0 и число точек пересечения…
• Нули функции: значения x, при которых y = 0 (точки пересечения графика с осью Ox).

Частые ошибки

• Путают знак углового коэффициента k: считают, что k > 0 всегда соответствует возрастанию, но при отрицательном k функция убывает.
• Неверно определяют знак b: думают, что b — точка пересечения с осью Ox, а не с Oy.
• При построении параболы забывают учитывать знак a и направление ветвей.
• Ошибки в вычислении координат вершины: путают формулу x₀ = -b/(2a) со знаком или делят на a вместо 2a.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Линейная, квадратичная функции, их графики» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Степенная, показательная, логарифмическая функции
• Тригонометрические функции и их графики
• Область определения и множество значений функции
• Производная: геометрический и физический смысл
• Применение производной: монотонность и экстремумы
• Наибольшее и наименьшее значение функции

← Предыдущая тема: Уравнения и неравенства с параметром
Следующая тема: Степенная, показательная, логарифмическая функции

Все темы: ЕГЭ по математике