Применение производной: монотонность и экстремумы: ЕГЭ по математике

Производная функции используется для исследования её поведения: знак производной определяет промежутки возрастания и убывания, а точки, где производная меняет знак, являются точками экстремума (минимума или максимума). На ЕГЭ по математике (профильный уровень) эта тема встречается в заданиях на…

Что нужно знать

• Достаточное условие возрастания: если f'(x) > 0 на интервале, то функция возрастает на этом интервале.
• Достаточное условие убывания: если f'(x) < 0 на интервале, то функция убывает на этом интервале.
• Точка минимума: точка, в которой производная меняет знак с минуса на плюс (при переходе слева направо).
• Точка максимума: точка, в которой производная меняет знак с плюса на минус.
• Необходимое условие экстремума: если в точке x0 существует экстремум и функция дифференцируема в ней, то f'(x0) = 0 (критическая точка).
• Критические точки: внутренние точки области определения, где производная равна нулю или не существует.

Термины и понятия

• Производная функции в точке: предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (если…
• Монотонность функции: свойство функции возрастать или убывать на промежутке.
• Возрастающая функция: функция, у которой большему значению аргумента соответствует большее значение функции (f(x1) < f(x2) при x1 < x2).
• Убывающая функция: функция, у которой большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (f(x1) > f(x2) при x1 < x2).
• Точка минимума: точка x0 из области определения, в которой существует такая окрестность, что для всех x из этой окрестности f(x) ≥ f(x0).
• Точка максимума: точка x0 из области определения, в которой существует такая окрестность, что для всех x из этой окрестности f(x) ≤ f(x0).
• Критическая точка: внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует.
• Стационарная точка: точка, в которой производная равна нулю.

Частые ошибки

• Путают знак производной с знаком самой функции: считают, что если функция положительна, то она возрастает.
• Забывают проверять смену знака производной при нахождении точек экстремума: просто приравнивают производную к нулю и считают все корни точками экстремума.
• Не учитывают точки, где производная не существует, при определении критических точек.
• Ошибаются в определении знака производной на промежутках из-за неверного решения неравенства.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Применение производной: монотонность и экстремумы» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Линейная, квадратичная функции, их графики
• Степенная, показательная, логарифмическая функции
• Тригонометрические функции и их графики
• Область определения и множество значений функции
• Производная: геометрический и физический смысл
• Наибольшее и наименьшее значение функции

← Предыдущая тема: Производная: геометрический и физический смысл
Следующая тема: Наибольшее и наименьшее значение функции

Все темы: ЕГЭ по математике