Наибольшее и наименьшее значение функции: ЕГЭ по математике

Тема посвящена нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Основные методы: исследование функции с помощью производной (нахождение критических точек, сравнение значений в них и на концах отрезка) и использование свойств непрерывных функций. Важно уметь применять алгоритм для…

Что нужно знать

• Определение наибольшего и наименьшего значения функции на множестве.
• Теорема Вейерштрасса: непрерывная на отрезке функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений.
• Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке: найти производную, критические точки, вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка…
• Если функция монотонна на отрезке, то наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.
• Для функций, заданных на интервале или полуинтервале, наибольшее/наименьшее значение может достигаться в критической точке (если она внутри) или не существовать.
• Использование производной для определения знаков и поведения функции (возрастание/убывание) помогает уточнить характер критических точек.

Термины и понятия

• Наибольшее значение функции на множестве X: число M, такое что для всех x из X выполняется f(x) ≤ M, и существует x0 из X, для которого…
• Наименьшее значение функции на множестве X: число m, такое что для всех x из X выполняется f(x) ≥ m, и существует x0 из X, для которого…
• Критическая точка: внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует.
• Стационарная точка: точка, в которой производная равна нулю.
• Непрерывная функция: функция, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции; график можно нарисовать без…
• Теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на замкнутом отрезке, то она достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений.
• Монотонность: свойство функции возрастать или убывать на промежутке.

Частые ошибки

• Забывают проверить значения функции на концах отрезка.
• Не учитывают критические точки, в которых производная не существует (например, изломы графика).
• Ошибаются при вычислении производной, особенно сложных функций.
• Неверно определяют принадлежность критической точки заданному отрезку.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Наибольшее и наименьшее значение функции» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Линейная, квадратичная функции, их графики
• Степенная, показательная, логарифмическая функции
• Тригонометрические функции и их графики
• Область определения и множество значений функции
• Производная: геометрический и физический смысл
• Применение производной: монотонность и экстремумы

← Предыдущая тема: Применение производной: монотонность и экстремумы
Следующая тема: Первообразная и интеграл, площадь под графиком

Все темы: ЕГЭ по математике