Тригонометрические функции и их графики: ЕГЭ по математике

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) и их графики. Изучаются свойства функций, области определения и значений, периодичность, чётность/нечётность, промежутки знакопостоянства и монотонности, а также преобразования графиков. На ЕГЭ по математике (профильный уровень) тема…

Что нужно знать

• Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса через единичную окружность и прямоугольный треугольник.
• Свойства функций: область определения, область значений, периодичность (2π для sin и cos, π для tg и ctg), чётность (cos — чётная, sin, tg, ctg — нечётные).
• Графики: синусоида, косинусоида, тангенсоида, котангенсоида. Основные точки и асимптоты.
• Преобразования графиков: сдвиги, растяжения/сжатия, отражения, связанные с параметрами A, ω, φ в формулах y = A sin(ωx + φ) + B и аналогично для других функций.
• Связь между графиками sin и cos: cos x = sin(x + π/2).
• Простейшие тригонометрические уравнения и их решение с помощью графиков или единичной окружности.

Термины и понятия

• Тригонометрическая функция: функция, аргументом которой является угол (или числовая величина), а значением — отношение сторон…
• Синус угла α: ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1,0) на угол α; отношение противолежащего катета к…
• Косинус угла α: абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1,0) на угол α; отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс угла α: отношение синуса к косинусу (sin α / cos α); отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Котангенс угла α: отношение косинуса к синусу (cos α / sin α); отношение прилежащего катета к противолежащему.
• Периодичность функции: свойство функции повторять свои значения через определённый промежуток (период). Для sin и cos наименьший…
• Область определения: множество допустимых значений аргумента. Для sin и cos — все действительные числа; для tg — все числа, кроме π/2 + πk…
• Область значений: множество значений функции. Для sin и cos — отрезок [-1; 1]; для tg и ctg — все действительные числа.

Частые ошибки

• Путаница в области определения тангенса и котангенса (забывают исключить точки, где косинус или синус равны нулю).
• Неверное определение периода при наличии коэффициента ω (например, считают период y = sin(2x) равным 2π вместо π).
• Ошибки при преобразованиях графиков: неправильный сдвиг по фазе (знак φ) или растяжение/сжатие (путают ω и 1/ω).
• Неправильное применение чётности: например, считают sin(-x) = sin x, а tg(-x) = tg x.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Тригонометрические функции и их графики» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Линейная, квадратичная функции, их графики
• Степенная, показательная, логарифмическая функции
• Область определения и множество значений функции
• Производная: геометрический и физический смысл
• Применение производной: монотонность и экстремумы
• Наибольшее и наименьшее значение функции

← Предыдущая тема: Степенная, показательная, логарифмическая функции
Следующая тема: Область определения и множество значений функции

Все темы: ЕГЭ по математике