Дробно-рациональные уравнения: ОГЭ по математике

Дробно-рациональное уравнение — уравнение, содержащее дробь с переменной в знаменателе. Для его решения находят область допустимых значений (ОДЗ), умножают обе части на общий знаменатель, решают полученное целое уравнение и отбрасывают корни, не входящие в ОДЗ.

Что нужно знать

• Дробно-рациональное уравнение — уравнение вида P(x)/Q(x) = 0 или равенство двух дробей, где P(x) и Q(x) — многочлены, Q(x) ≠ 0.
• ОДЗ — все значения переменной, при которых знаменатели не обращаются в нуль.
• Основной метод решения: умножить обе части уравнения на общий знаменатель (или приравнять числитель к нулю при условии Q(x) ≠ 0).
• После решения целого уравнения обязательна проверка корней по ОДЗ (или подстановкой в исходное уравнение).
• Посторонние корни — значения, полученные при решении, но не входящие в ОДЗ; их нужно исключать.
• Если уравнение имеет вид P(x)/Q(x) = 0, то решают P(x) = 0 при Q(x) ≠ 0.

Термины и понятия

• Дробно-рациональное уравнение: уравнение, в котором хотя бы одна дробь содержит переменную в знаменателе.
• Область допустимых значений (ОДЗ): множество значений переменной, при которых все выражения в уравнении имеют смысл.
• Общий знаменатель: произведение или наименьшее общее кратное знаменателей дробей, входящих в уравнение.
• Посторонний корень: значение переменной, полученное при решении преобразованного уравнения, но не являющееся корнем исходного (например…
• Целое уравнение: уравнение, не содержащее переменную в знаменателе.

Частые ошибки

• Забывают учитывать ОДЗ и не проверяют корни, что приводит к включению посторонних корней.
• При умножении на общий знаменатель теряют условие «знаменатель не равен нулю».
• Неправильно находят общий знаменатель (например, складывают знаменатели вместо приведения к общему).
• Сокращают дробь на выражение с переменной без указания условия, что это выражение не равно нулю.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Дробно-рациональные уравнения» занимает 1 занятие по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Линейные уравнения
• Квадратные уравнения
• Системы линейных уравнений
• Линейные неравенства и их системы
• Квадратные неравенства
• Решение текстовых задач с помощью уравнений

← Предыдущая тема: Квадратные уравнения
Следующая тема: Системы линейных уравнений

Все темы: ОГЭ по математике