Теория чисел: делимость, сравнения, олимпиадные идеи: ЕГЭ по математике

Теория чисел в ЕГЭ по математике (профильный уровень) включает делимость, сравнения по модулю и олимпиадные идеи, необходимые для решения заданий повышенной сложности (например, №18 и №19). Ученик должен уметь применять признаки делимости, свойства остатков, сравнения по модулю, а также идеи…

Что нужно знать

• Определение делимости: a делится на b (b≠0), если существует целое k такое, что a = b·k.
• Свойства делимости: если a⋮c и b⋮c, то (a+b)⋮c и (a−b)⋮c; если a⋮b и b⋮c, то a⋮c.
• Признаки делимости: на 2 (последняя цифра чётная), на 3 и 9 (сумма цифр делится на 3 или 9), на 5 (последняя цифра 0 или 5), на 10 (последняя цифра 0), на 4 (две последние цифры образуют число, делящееся на 4), на 11…
• Деление с остатком: для любых целых a и b>0 существуют единственные q и r такие, что a = bq + r, 0 ≤ r < b.
• Сравнения по модулю: a ≡ b (mod m), если m делит (a−b). Свойства: сравнения можно складывать, вычитать, умножать; обе части можно умножать на одно и то же целое число; обе части и модуль можно делить на их общий…
• Малая теорема Ферма (для олимпиадных задач): если p — простое и a не делится на p, то a^(p−1) ≡ 1 (mod p).

Термины и понятия

• Делимость: целое число a делится на целое b≠0, если существует целое k такое, что a = b·k.
• Остаток: при делении a на b>0 остаток r — целое число 0 ≤ r < b, такое что a = bq + r для некоторого целого q.
• Сравнение по модулю: a ≡ b (mod m), если m делит a−b.
• Простое число: натуральное число >1, имеющее ровно два натуральных делителя: 1 и само себя.
• Взаимно простые числа: целые числа, наибольший общий делитель которых равен 1.
• НОД и НОК: наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух или более чисел.
• Малая теорема Ферма: если p — простое и a не делится на p, то a^(p−1) ≡ 1 (mod p).
• Принцип Дирихле: если n+1 предмет разложить по n ящикам, то хотя бы в одном ящике окажется не менее двух предметов.

Частые ошибки

• Путают делимость и делитель: говорят «a делится на b», когда имеют в виду «a делит b».
• Забывают, что при делении с остатком остаток всегда неотрицателен и меньше модуля.
• Неверно применяют признаки делимости (например, для 4 берут сумму цифр, а не две последние цифры).
• При работе со сравнениями делят обе части на число, не взаимно простое с модулем, что приводит к потере решений.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Теория чисел: делимость, сравнения, олимпиадные идеи» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Действия с целыми числами, делимость, остатки
• Обыкновенные и десятичные дроби, действия с ними
• Степени с целым и рациональным показателем, корни
• Логарифмы: определение и свойства
• Модуль числа, преобразования выражений с модулем
• Тригонометрия: радианная мера, основные тождества

← Предыдущая тема: Задачи с параметром: графический и аналитический методы

Все темы: ЕГЭ по математике