Неравенства с логарифмами и тригонометрией повышенной сложности: ЕГЭ по математике

Тема охватывает решение логарифмических и тригонометрических неравенств повышенной сложности, включая комбинированные неравенства, метод рационализации (замены множителей), учёт ОДЗ, замену переменной и отбор корней на промежутке. На ЕГЭ по профильной математике такие задачи встречаются в задании…

Что нужно знать

• ОДЗ логарифма: выражение под логарифмом положительно, основание положительно и не равно 1.
• Свойства логарифмов: log_a(xy)=log_a x + log_a y, log_a(x/y)=log_a x - log_a y, log_a x^p = p log_a x (при x>0), переход к новому основанию.
• Метод рационализации: неравенство log_a f(x) > log_a g(x) при a>1 равносильно f(x)>g(x)>0; при 0<a<1 — f(x)<g(x) и f(x)>0, g(x)>0. Обобщённо: (a-1)(f(x)-g(x)) > 0 с учётом ОДЗ.
• Показательные и логарифмические неравенства часто решаются заменой переменной с указанием области значений новой переменной.
• Тригонометрические неравенства: решение с помощью единичной окружности или графиков, учёт периодичности, запись ответа в виде промежутков с периодом.
• Комбинированные неравенства: приведение к общему основанию, использование монотонности, разложение на множители, метод интервалов с учётом ОДЗ.

Термины и понятия

• Логарифм: log_a b — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b (a>0, a≠1, b>0).
• ОДЗ (область допустимых значений): множество значений переменной, при которых выражение имеет смысл.
• Метод рационализации: приём сведения логарифмического или показательного неравенства к алгебраическому с помощью замены множителей на…
• Тригонометрическое неравенство: неравенство, содержащее тригонометрические функции неизвестного угла (sin x, cos x, tg x, ctg x).
• Единичная окружность: окружность радиуса 1 с центром в начале координат, используемая для решения тригонометрических уравнений и неравенств.
• Замена переменной: введение новой переменной t = f(x) для упрощения неравенства с последующим возвратом к исходной переменной.
• Метод интервалов: метод решения неравенств, основанный на разбиении числовой прямой нулями функции и определении знака на каждом промежутке.

Частые ошибки

• Забывают про ОДЗ логарифма: не проверяют положительность выражения под логарифмом и допустимость основания.
• Не рассматривают оба случая для основания логарифма (a>1 и 0<a<1), что приводит к потере или добавлению решений.
• Неправильно применяют свойства логарифмов: log_a(x^2) = 2 log_a x верно только при x>0, иначе появляется модуль.
• При решении тригонометрических неравенств путают границы промежутков и направление дуги на единичной окружности.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Неравенства с логарифмами и тригонометрией повышенной сложности» занимает 3 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Линейные и квадратные уравнения, теорема Виета
• Рациональные уравнения и метод интервалов для неравенств
• Иррациональные уравнения и неравенства
• Показательные уравнения и неравенства
• Логарифмические уравнения и неравенства
• Тригонометрические уравнения: отбор корней

← Предыдущая тема: Полная вероятность и формула Байеса
Следующая тема: Исследование функций с помощью производной повышенной сложности

Все темы: ЕГЭ по математике