Иррациональные уравнения и неравенства: ЕГЭ по математике

Иррациональные уравнения и неравенства — это уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком корня (чаще всего квадратного). Для их решения необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ) и применять возведение в степень, следя за возможным появлением посторонних корней или…

Что нужно знать

• Иррациональное уравнение — уравнение, в котором переменная входит под знак корня (или дробной степени).
• Основной метод решения уравнений: уединение корня и возведение обеих частей в степень, равную показателю корня.
• При возведении в чётную степень возможно появление посторонних корней, поэтому необходима проверка или учёт ОДЗ.
• Для уравнений вида √f(x) = g(x) достаточно потребовать f(x) = g²(x) и g(x) ≥ 0 (без отдельного учёта f(x) ≥ 0, так как оно следует из равенства).
• Для неравенств вида √f(x) < g(x) условия: f(x) ≥ 0, g(x) > 0, f(x) < g²(x).
• Для неравенств вида √f(x) > g(x) рассматривают два случая: g(x) < 0 (решение — ОДЗ f(x) ≥ 0) и g(x) ≥ 0 (f(x) > g²(x)).

Термины и понятия

• Иррациональное уравнение: уравнение, содержащее переменную под знаком корня (или в дробной степени).
• Иррациональное неравенство: неравенство, содержащее переменную под знаком корня.
• ОДЗ (область допустимых значений): множество значений переменной, при которых выражение имеет смысл.
• Посторонний корень: значение переменной, полученное при решении, но не удовлетворяющее исходному уравнению (например, из-за возведения в…
• Равносильные преобразования: преобразования, не приводящие к потере или приобретению корней.
• Уединение корня: выделение корня в одной части уравнения (или неравенства) для последующего возведения в степень.

Частые ошибки

• Забывают проверять корни после возведения в чётную степень, что приводит к включению посторонних корней.
• Не учитывают ОДЗ подкоренного выражения (например, решают √(x - 2) = -3 и получают ответ, хотя корень не может быть отрицательным).
• При решении неравенств возводят в квадрат без учёта знака правой части, что приводит к неверному ответу.
• Неправильно раскрывают скобки при возведении в квадрат суммы/разности корней.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Иррациональные уравнения и неравенства» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Линейные и квадратные уравнения, теорема Виета
• Рациональные уравнения и метод интервалов для неравенств
• Показательные уравнения и неравенства
• Логарифмические уравнения и неравенства
• Тригонометрические уравнения: отбор корней
• Системы уравнений и неравенств

← Предыдущая тема: Рациональные уравнения и метод интервалов для неравенств
Следующая тема: Показательные уравнения и неравенства

Все темы: ЕГЭ по математике