Логарифмические уравнения и неравенства: ЕГЭ по математике

Логарифмические уравнения и неравенства — это уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма или в основании логарифма. Для их решения используют определение логарифма, свойства логарифмов, потенцирование и переход к равносильным системам с учётом области допустимых значений…

Что нужно знать

• Определение логарифма: log_a b = c ⇔ a^c = b, где a > 0, a ≠ 1, b > 0.
• Основное логарифмическое тождество: a^{log_a b} = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0).
• Свойства логарифмов: log_a (xy) = log_a x + log_a y; log_a (x/y) = log_a x − log_a y; log_a x^p = p log_a x; переход к новому основанию: log_a b = log_c b / log_c a.
• При решении уравнений вида log_a f(x) = log_a g(x) (a > 0, a ≠ 1) переходят к равенству f(x) = g(x) при условии f(x) > 0 (или g(x) > 0).
• При решении неравенств вида log_a f(x) > log_a g(x): если a > 1, то f(x) > g(x) > 0; если 0 < a < 1, то 0 < f(x) < g(x) (знак неравенства меняется).
• Обязательный учёт ОДЗ: выражения под логарифмом должны быть положительны, основание логарифма положительно и не равно 1.

Термины и понятия

• Логарифм: логарифмом числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b…
• ОДЗ (область допустимых значений): множество значений переменной, при которых все выражения в уравнении или неравенстве имеют смысл.
• Потенцирование: переход от уравнения или неравенства, содержащего логарифмы, к уравнению или неравенству без логарифмов.
• Логарифмическое уравнение: уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма или в основании логарифма.
• Логарифмическое неравенство: неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма или в основании логарифма.
• Замена переменной: метод решения, при котором новое обозначение вводится для упрощения уравнения или неравенства.

Частые ошибки

• Забывают учитывать ОДЗ: не проверяют положительность выражений под логарифмом и допустимость основания.
• При решении неравенств с основанием 0 < a < 1 забывают менять знак неравенства на противоположный.
• Неправильно применяют свойства логарифмов: например, log_a (x + y) ≠ log_a x + log_a y.
• При потенцировании суммы логарифмов не проверяют, что каждый аргумент положителен, что может привести к посторонним корням.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Логарифмические уравнения и неравенства» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Линейные и квадратные уравнения, теорема Виета
• Рациональные уравнения и метод интервалов для неравенств
• Иррациональные уравнения и неравенства
• Показательные уравнения и неравенства
• Тригонометрические уравнения: отбор корней
• Системы уравнений и неравенств

← Предыдущая тема: Показательные уравнения и неравенства
Следующая тема: Тригонометрические уравнения: отбор корней

Все темы: ЕГЭ по математике