Рациональные уравнения и метод интервалов для неравенств: ЕГЭ по математике

Рациональные уравнения — это уравнения с дробями, содержащими переменную в знаменателе; их решение сводится к приведению к общему знаменателю и проверке корней на допустимость (ОДЗ). Метод интервалов — универсальный способ решения рациональных неравенств, основанный на нахождении нулей числителя и…

Что нужно знать

• Рациональное уравнение — уравнение вида P(x)/Q(x) = 0, где P(x) и Q(x) — многочлены, Q(x) ≠ 0.
• ОДЗ рационального уравнения: все x, при которых знаменатель не равен нулю.
• Алгоритм решения рационального уравнения: привести к общему знаменателю, приравнять числитель к нулю, решить полученное уравнение, исключить корни, не входящие в ОДЗ.
• Рациональное неравенство — неравенство вида P(x)/Q(x) > 0 (<, ≥, ≤), где P и Q — многочлены.
• Метод интервалов: найти нули числителя и знаменателя, отметить их на числовой прямой (нули знаменателя — выколотые точки, нули числителя — выколотые для строгих неравенств и закрашенные для нестрогих), определить знак…
• Кратность корня: если множитель встречается в чётной степени, знак при переходе через точку не меняется; если в нечётной — меняется.

Термины и понятия

• Рациональное уравнение: уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями, то есть содержат только…
• Область допустимых значений (ОДЗ): множество значений переменной, при которых выражение имеет смысл (знаменатели не равны нулю).
• Рациональное неравенство: неравенство, левая и правая части которого — рациональные выражения, содержащие переменную в знаменателе.
• Метод интервалов: метод решения неравенств, основанный на свойстве непрерывной функции сохранять знак на промежутках между нулями.
• Кратность корня: показатель степени, с которой множитель (x - a) входит в разложение числителя или знаменателя на множители.
• Выколотая точка: точка на числовой прямой, не включаемая в ответ (для нулей знаменателя или при строгом неравенстве).
• Закрашенная точка: точка, включаемая в ответ (для нулей числителя при нестрогом неравенстве).

Частые ошибки

• Забывают проверить корни на ОДЗ и включают в ответ значения, обращающие знаменатель в нуль.
• При решении неравенства умножают обе части на знаменатель, не учитывая его знак, что приводит к неверному ответу.
• Неправильно расставляют знаки на интервалах: путают чётную и нечётную кратность корней.
• Включают выколотые точки в ответ при строгом неравенстве или, наоборот, исключают закрашенные при нестрогом.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Рациональные уравнения и метод интервалов для неравенств» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Линейные и квадратные уравнения, теорема Виета
• Иррациональные уравнения и неравенства
• Показательные уравнения и неравенства
• Логарифмические уравнения и неравенства
• Тригонометрические уравнения: отбор корней
• Системы уравнений и неравенств

← Предыдущая тема: Линейные и квадратные уравнения, теорема Виета
Следующая тема: Иррациональные уравнения и неравенства

Все темы: ЕГЭ по математике