Полная вероятность и формула Байеса: ЕГЭ по математике

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность события через вероятности гипотез и условные вероятности; формула Байеса пересчитывает вероятности гипотез после наступления события. Тема важна для задач ЕГЭ по теории вероятностей (обычно №4 или №5 профильного уровня).

Что нужно знать

• Гипотезы — попарно несовместные события, образующие полную группу (их сумма вероятностей равна 1).
• Формула полной вероятности: P(A) = Σ P(H_i)·P(A|H_i).
• Формула Байеса: P(H_k|A) = P(H_k)·P(A|H_k) / P(A), где P(A) вычисляется по формуле полной вероятности.
• Условная вероятность P(A|H) — вероятность события A при условии, что произошла гипотеза H.
• Для применения формул нужно чётко выделить гипотезы и событие A, проверить, что гипотезы образуют полную группу.
• Вероятности гипотез до опыта называются априорными, после — апостериорными.

Термины и понятия

• Гипотеза: одно из несовместных событий, образующих полную группу, которое может быть причиной наступления события A.
• Полная группа событий: набор попарно несовместных событий, объединение которых — достоверное событие (сумма вероятностей равна 1).
• Условная вероятность P(A|B): вероятность события A при условии, что событие B произошло.
• Формула полной вероятности: P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + ... + P(H_n)P(A|H_n).
• Формула Байеса: P(H_i|A) = P(H_i)P(A|H_i) / P(A), где P(A) — полная вероятность.
• Априорная вероятность: вероятность гипотезы до наступления события A.
• Апостериорная вероятность: вероятность гипотезы после того, как стало известно, что событие A произошло.

Частые ошибки

• Неверное определение гипотез: гипотезы могут пересекаться или не образовывать полную группу.
• Забывают умножить вероятность гипотезы на условную вероятность при вычислении полной вероятности.
• Путают P(A|H) и P(H|A), что приводит к неверному применению формулы Байеса.
• Ошибки в арифметике при суммировании произведений (особенно с дробями).

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Полная вероятность и формула Байеса» занимает 1 занятие по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания
• Классическое определение вероятности
• Сложение и умножение вероятностей, условная вероятность
• Статистика: средние, медиана, дисперсия

← Предыдущая тема: Сечения многогранников, метод координат в стереометрии
Следующая тема: Неравенства с логарифмами и тригонометрией повышенной сложности

Все темы: ЕГЭ по математике