Показательные уравнения и неравенства: ЕГЭ по математике

Показательные уравнения и неравенства — это уравнения и неравенства, в которых неизвестная находится в показателе степени. Для их решения используют свойства показательной функции, приведение к одному основанию, замену переменной и метод интервалов (для неравенств).

Что нужно знать

• Показательная функция y = a^x определена при a > 0, a ≠ 1; область значений (0; +∞).
• При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 — убывает.
• Простейшее показательное уравнение a^f(x) = a^g(x) (a>0, a≠1) равносильно f(x) = g(x).
• Уравнение a^f(x) = b (b>0) решается логарифмированием: f(x) = log_a b.
• Если b ≤ 0, уравнение a^f(x) = b не имеет решений.
• Показательные неравенства вида a^f(x) > a^g(x): при a>1 переход к f(x) > g(x); при 0<a<1 знак неравенства меняется на противоположный.

Термины и понятия

• Показательная функция: функция вида y = a^x, где a > 0, a ≠ 1.
• Показательное уравнение: уравнение, содержащее неизвестную в показателе степени.
• Показательное неравенство: неравенство, содержащее неизвестную в показателе степени.
• Основание степени: число a в выражении a^x.
• Логарифм: log_a b — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b (a>0, a≠1, b>0).
• Замена переменной: приём решения, при котором выражение с неизвестной обозначают новой переменной.

Частые ошибки

• Забывают, что основание степени должно быть положительным и не равным 1.
• При решении неравенства с основанием 0<a<1 не меняют знак неравенства на противоположный.
• Не учитывают область допустимых значений при логарифмировании (b>0).
• При замене переменной забывают условие t>0 для t = a^f(x).

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Показательные уравнения и неравенства» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Линейные и квадратные уравнения, теорема Виета
• Рациональные уравнения и метод интервалов для неравенств
• Иррациональные уравнения и неравенства
• Логарифмические уравнения и неравенства
• Тригонометрические уравнения: отбор корней
• Системы уравнений и неравенств

← Предыдущая тема: Иррациональные уравнения и неравенства
Следующая тема: Логарифмические уравнения и неравенства

Все темы: ЕГЭ по математике