Сечения многогранников, метод координат в стереометрии: ЕГЭ по математике

Тема включает построение сечений многогранников плоскостью и применение метода координат для вычисления длин, углов и площадей в стереометрии. На ЕГЭ по математике (профильный уровень) эти знания проверяются в задачах по стереометрии (обычно №14 и №16 в вариантах ЕГЭ).

Что нужно знать

• Сечение многогранника плоскостью — это многоугольник, стороны которого лежат на гранях многогранника, а вершины — на рёбрах или гранях.
• Для построения сечения используют аксиомы стереометрии, свойства параллельных плоскостей и прямых, метод следов (нахождение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания).
• Метод координат в стереометрии: введение прямоугольной системы координат, нахождение координат вершин, векторов, вычисление длин, углов между прямыми и плоскостями, расстояний.
• Угол между прямыми в пространстве: через направляющие векторы, cos φ = |a·b|/(|a||b|).
• Угол между прямой и плоскостью: sin φ = |a·n|/(|a||n|), где n — нормальный вектор плоскости.
• Угол между плоскостями: через нормальные векторы, cos φ = |n1·n2|/(|n1||n2|).

Термины и понятия

• Сечение многогранника — многоугольник, полученный при пересечении многогранника с плоскостью.
• Секущая плоскость — плоскость, пересекающая многогранник по некоторому многоугольнику.
• Метод следов — способ построения сечения, при котором сначала находят линию пересечения секущей плоскости с плоскостью основания (след)…
• Метод координат — способ решения геометрических задач с помощью введения системы координат и использования алгебраических операций над…
• Направляющий вектор прямой — ненулевой вектор, параллельный данной прямой.
• Нормальный вектор плоскости — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости.
• Компланарность векторов — условие, при котором три вектора лежат в одной плоскости (смешанное произведение равно нулю).

Частые ошибки

• Неверное построение сечения из-за нарушения правил соединения точек, лежащих в разных гранях (соединять можно только точки, лежащие в одной грани).
• Забывают про выход сечения за пределы многогранника или не учитывают все грани.
• Ошибки при введении системы координат: неверный выбор начала координат или направлений осей, что приводит к громоздким вычислениям.
• Неправильное нахождение координат вершин, особенно в наклонных призмах и пирамидах.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Сечения многогранников, метод координат в стереометрии» занимает 3 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Прямые и плоскости в пространстве, углы и расстояния
• Многогранники: призма, пирамида, их объёмы и площади
• Тела вращения: цилиндр, конус, шар
• Комбинации многогранников и тел вращения
• Векторы и координаты в пространстве

← Предыдущая тема: Метод координат и площадей в планиметрических задачах
Следующая тема: Полная вероятность и формула Байеса

Все темы: ЕГЭ по математике