Векторы и координаты в пространстве: ЕГЭ по математике

Тема охватывает векторы в пространстве (определение, операции, скалярное произведение, длина, угол) и метод координат (координаты точек и векторов, расстояние между точками, уравнения плоскости и сферы, вычисление углов и расстояний). Эти знания необходимы для решения стереометрических задач части…

Что нужно знать

• Вектор в пространстве — направленный отрезок; задаётся координатами (x; y; z) как разность координат конца и начала.
• Линейные операции над векторами: сложение, вычитание, умножение на число — выполняются покоординатно.
• Длина вектора a(x; y; z) вычисляется по формуле |a| = √(x² + y² + z²).
• Скалярное произведение векторов a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂; через длины и угол: a·b = |a||b|cosφ.
• Косинус угла между векторами: cosφ = (a·b)/(|a||b|).
• Условия коллинеарности (a = k b) и перпендикулярности (a·b = 0) векторов в координатах.

Термины и понятия

• Вектор: направленный отрезок, характеризующийся длиной и направлением; в координатах задаётся упорядоченной тройкой чисел.
• Координаты вектора: разности соответствующих координат конца и начала вектора.
• Длина вектора: расстояние между началом и концом вектора, вычисляется как корень из суммы квадратов координат.
• Скалярное произведение: число, равное сумме попарных произведений соответствующих координат векторов; также равно произведению длин на…
• Коллинеарные векторы: ненулевые векторы, лежащие на параллельных прямых; их координаты пропорциональны.
• Компланарные векторы: векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные ей; определитель из их координат равен нулю.
• Нормальный вектор плоскости: ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости; его координаты — коэффициенты A, B, C в общем уравнении…
• Направляющий вектор прямой: ненулевой вектор, параллельный прямой.

Частые ошибки

• Путают координаты вектора с координатами точки: вектор AB = (x_B − x_A; y_B − y_A; z_B − z_A), а не (x_B; y_B; z_B).
• Забывают извлекать корень при вычислении длины вектора или расстояния между точками.
• Ошибки в знаках при вычислении скалярного произведения или координат вектора.
• Неверно определяют нормальный вектор плоскости из её уравнения (например, для 2x − 3y + z − 1 = 0 нормаль (2; −3; 1), а не (2; 3; 1)).

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Векторы и координаты в пространстве» занимает 3 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Прямые и плоскости в пространстве, углы и расстояния
• Многогранники: призма, пирамида, их объёмы и площади
• Тела вращения: цилиндр, конус, шар
• Комбинации многогранников и тел вращения
• Сечения многогранников, метод координат в стереометрии

← Предыдущая тема: Комбинации многогранников и тел вращения
Следующая тема: Комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания

Все темы: ЕГЭ по математике