Прямые и плоскости в пространстве, углы и расстояния: ЕГЭ по математике

Тема охватывает взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, вычисление углов между ними и расстояний (от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми). На ЕГЭ по математике (профильный уровень) эти знания проверяются в задачах по стереометрии (обычно №14 и №16 в вариантах ЕГЭ).

Что нужно знать

• Прямая и плоскость: параллельны, пересекаются, прямая лежит в плоскости.
• Две прямые в пространстве: параллельны, пересекаются, скрещиваются.
• Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
• Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
• Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией на эту плоскость (если прямая не перпендикулярна плоскости).
• Угол между скрещивающимися прямыми — угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным (обычно через параллельный перенос).

Термины и понятия

• Скрещивающиеся прямые: прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Параллельные прямые: прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся.
• Проекция точки на плоскость: основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
• Угол между прямой и плоскостью: угол между прямой и её проекцией на плоскость (острый или прямой).
• Двугранный угол: фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.
• Линейный угол двугранного угла: угол между перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведёнными в его гранях из одной точки.
• Нормальный вектор плоскости: ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости.
• Ортогональное проектирование: параллельное проектирование, при котором направление проектирования перпендикулярно плоскости проекции.

Частые ошибки

• Путают угол между прямой и плоскостью с углом между прямой и нормалью плоскости (синус и косинус).
• Неверно определяют проекцию точки на плоскость, особенно в наклонных сечениях.
• При нахождении угла между скрещивающимися прямыми выбирают не тот параллельный перенос и получают тупой угол вместо острого.
• Забывают, что угол между прямой и плоскостью не может превышать 90°.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Прямые и плоскости в пространстве, углы и расстояния» занимает 3 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Многогранники: призма, пирамида, их объёмы и площади
• Тела вращения: цилиндр, конус, шар
• Комбинации многогранников и тел вращения
• Векторы и координаты в пространстве
• Сечения многогранников, метод координат в стереометрии

← Предыдущая тема: Векторы и координаты на плоскости
Следующая тема: Многогранники: призма, пирамида, их объёмы и площади

Все темы: ЕГЭ по математике