Комбинации многогранников и тел вращения: ЕГЭ по математике

Тема посвящена комбинациям многогранников (призм, пирамид) и тел вращения (цилиндров, конусов, сфер). На ЕГЭ по профильной математике требуется находить элементы комбинаций (радиусы, высоты, стороны), площади поверхностей и объёмы, используя свойства вписанных и описанных фигур, теорему Пифагора и…

Что нужно знать

• Вписанный шар в многогранник: шар касается всех граней; центр равноудалён от граней на радиус r.
• Описанный шар около многогранника: все вершины лежат на сфере; центр равноудалён от вершин.
• Цилиндр, вписанный в призму (или описанный около неё): радиус цилиндра равен радиусу вписанной (описанной) окружности основания призмы, высоты совпадают.
• Конус, вписанный в пирамиду: основание конуса — окружность, вписанная в основание пирамиды, вершина совпадает с вершиной пирамиды; радиус основания конуса равен радиусу вписанной окружности, высота — высоте пирамиды.
• Шар, вписанный в цилиндр: радиус шара равен радиусу цилиндра, высота цилиндра равна 2r.
• Шар, описанный около цилиндра: радиус шара R связан с радиусом цилиндра r и высотой h: R^2 = r^2 + (h/2)^2.

Термины и понятия

• Вписанный шар в многогранник: шар, касающийся всех граней многогранника.
• Описанный шар около многогранника: шар, поверхность которого проходит через все вершины многогранника.
• Вписанный цилиндр в призму: цилиндр, основания которого вписаны в основания призмы, а высота совпадает с высотой призмы.
• Описанный цилиндр около призмы: цилиндр, основания которого описаны около оснований призмы, высота совпадает с высотой призмы.
• Вписанный конус в пирамиду: конус, основание которого вписано в основание пирамиды, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.
• Описанный конус около пирамиды: конус, основание которого описано около основания пирамиды, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.
• Осевое сечение: сечение тела вращения плоскостью, проходящей через его ось.
• Комбинация тел: взаимное расположение двух или более геометрических тел, при котором одно тело вписано в другое или описано около другого.

Частые ошибки

• Путают радиус вписанной и описанной окружности основания призмы или пирамиды.
• Неверно определяют высоту комбинированного тела (например, считают, что высота цилиндра не равна высоте призмы).
• Ошибаются в формуле радиуса описанного шара около цилиндра или конуса, забывая про теорему Пифагора.
• Применяют формулы для плоских фигур вместо пространственных (например, путают площадь круга и длину окружности).

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Комбинации многогранников и тел вращения» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Прямые и плоскости в пространстве, углы и расстояния
• Многогранники: призма, пирамида, их объёмы и площади
• Тела вращения: цилиндр, конус, шар
• Векторы и координаты в пространстве
• Сечения многогранников, метод координат в стереометрии

← Предыдущая тема: Тела вращения: цилиндр, конус, шар
Следующая тема: Векторы и координаты в пространстве

Все темы: ЕГЭ по математике