Тела вращения: цилиндр, конус, шар: ЕГЭ по математике

Тела вращения (цилиндр, конус, шар) — ключевая тема стереометрии ЕГЭ. Необходимо знать определения, элементы, формулы площади поверхности и объёма, уметь решать задачи на вычисление, сечения, комбинации тел и применения в реальных ситуациях.

Что нужно знать

• Цилиндр: прямое тело вращения, получается вращением прямоугольника вокруг одной из сторон. Элементы: радиус основания R, высота h, образующая l (для прямого цилиндра l = h).
• Площадь боковой поверхности цилиндра: S_бок = 2πRh; полная поверхность: S_полн = 2πR(R+h).
• Объём цилиндра: V = πR²h.
• Конус: тело вращения, получается вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Элементы: радиус основания R, высота h, образующая l, связаны теоремой Пифагора: l² = R² + h².
• Площадь боковой поверхности конуса: S_бок = πRl; полная поверхность: S_полн = πR(R+l).
• Объём конуса: V = (1/3)πR²h.

Термины и понятия

• Цилиндр: тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами (основаниями).
• Прямой круговой цилиндр: цилиндр, у которого образующие перпендикулярны основаниям.
• Образующая цилиндра: отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований; для прямого цилиндра равна высоте.
• Конус: тело, ограниченное конической поверхностью и кругом (основанием).
• Прямой круговой конус: конус, у которого вершина проецируется в центр основания.
• Образующая конуса: отрезок, соединяющий вершину с точкой окружности основания.
• Усечённый конус: часть конуса, заключённая между основанием и параллельным ему сечением.
• Шар: множество всех точек пространства, расстояние от которых до данной точки (центра) не превышает R.

Частые ошибки

• Путают радиус и диаметр при подстановке в формулы.
• Забывают про множитель 1/3 в формулах объёма конуса и усечённого конуса.
• Используют формулу боковой поверхности цилиндра S=2πRl вместо S=2πRh (для прямого цилиндра l=h, но для наклонного это неверно).
• Ошибки в применении теоремы Пифагора для конуса: путают гипотенузу (образующую) и катеты (радиус и высоту).

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Тела вращения: цилиндр, конус, шар» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Прямые и плоскости в пространстве, углы и расстояния
• Многогранники: призма, пирамида, их объёмы и площади
• Комбинации многогранников и тел вращения
• Векторы и координаты в пространстве
• Сечения многогранников, метод координат в стереометрии

← Предыдущая тема: Многогранники: призма, пирамида, их объёмы и площади
Следующая тема: Комбинации многогранников и тел вращения

Все темы: ЕГЭ по математике