Векторы и координаты на плоскости: ЕГЭ по математике

Векторы и координаты на плоскости — базовый инструмент планиметрии: действия с векторами, скалярное произведение, уравнение прямой и окружности, расстояние между точками, применение к треугольникам и четырёхугольникам.

Что нужно знать

• Вектор задаётся координатами (x; y) или длиной и направлением; модуль вектора |a| = sqrt(x^2 + y^2).
• Линейные операции: сложение, вычитание, умножение на число — покоординатно.
• Коллинеарность: векторы a(x1;y1) и b(x2;y2) коллинеарны ⇔ x1*y2 − x2*y1 = 0 (пропорциональность координат).
• Скалярное произведение: a·b = x1*x2 + y1*y2 = |a||b|cosφ; угол между векторами cosφ = (a·b)/(|a||b|).
• Перпендикулярность: a·b = 0.
• Расстояние между точками A(x1;y1) и B(x2;y2): sqrt((x2−x1)^2 + (y2−y1)^2).

Термины и понятия

• Вектор: направленный отрезок, характеризующийся длиной и направлением; в координатах — упорядоченная пара чисел.
• Координаты вектора: разности соответствующих координат конца и начала вектора.
• Модуль (длина) вектора: расстояние между началом и концом, вычисляется как sqrt(x^2 + y^2).
• Коллинеарные векторы: ненулевые векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой.
• Скалярное произведение: число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними; в координатах — сумма произведений одноимённых…
• Угловой коэффициент прямой: тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox; в уравнении y = kx + b это k.
• Уравнение окружности: множество точек, равноудалённых от центра (x0; y0) на расстояние R.

Частые ошибки

• Путают координаты вектора с координатами точки: вектор AB = (xB − xA; yB − yA), а не (xB; yB).
• Забывают модуль при вычислении косинуса угла через скалярное произведение (делят только на произведение координат).
• Неверно применяют условие перпендикулярности: путают a·b = 0 с коллинеарностью.
• Ошибки знаков при вычислении скалярного произведения (особенно с отрицательными координатами).

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Векторы и координаты на плоскости» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Треугольники: свойства, площади, теоремы синусов и косинусов
• Четырёхугольники: параллелограмм, трапеция, ромб
• Окружность и круг: углы, хорды, касательные
• Вписанные и описанные многоугольники
• Метод координат и площадей в планиметрических задачах

← Предыдущая тема: Вписанные и описанные многоугольники
Следующая тема: Прямые и плоскости в пространстве, углы и расстояния

Все темы: ЕГЭ по математике