Уравнения и неравенства с модулем: ЕГЭ по математике

Тема охватывает решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Ключевой метод — раскрытие модуля по определению (через промежутки знакопостоянства подмодульного выражения) или использование геометрической интерпретации модуля как расстояния. Необходимо уверенно решать как…

Что нужно знать

• Определение модуля: |a| = a при a ≥ 0; |a| = -a при a < 0.
• Геометрический смысл: |x - a| — расстояние между точками x и a на числовой прямой.
• Уравнение |f(x)| = a (a ≥ 0) равносильно совокупности f(x) = a или f(x) = -a; при a < 0 решений нет.
• Уравнение |f(x)| = g(x) равносильно системе: g(x) ≥ 0 и (f(x) = g(x) или f(x) = -g(x)).
• Неравенство |f(x)| < a (a > 0) равносильно двойному неравенству -a < f(x) < a; при a ≤ 0 решений нет.
• Неравенство |f(x)| > a (a ≥ 0) равносильно совокупности f(x) > a или f(x) < -a; при a < 0 решением является любое допустимое значение x.

Термины и понятия

• Модуль числа: неотрицательное число, равное самому числу, если оно неотрицательно, и противоположному числу, если оно отрицательно.
• Подмодульное выражение: выражение, стоящее внутри знака модуля.
• Раскрытие модуля по определению: замена |f(x)| на f(x) при f(x) ≥ 0 и на -f(x) при f(x) < 0.
• Геометрическая интерпретация модуля: |x - a| — расстояние от точки x до точки a на координатной прямой.
• Равносильные переходы: преобразования, не меняющие множество решений уравнения или неравенства.
• Метод интервалов: разбиение области допустимых значений на промежутки, на каждом из которых знак подмодульного выражения постоянен.

Частые ошибки

• Забывают проверять условие неотрицательности правой части в уравнениях вида |f(x)| = g(x).
• При решении неравенств |f(x)| < g(x) не учитывают, что должно быть g(x) > 0.
• Неверно раскрывают модуль в неравенствах: путают совокупность и систему.
• При возведении в квадрат обеих частей неравенства не проверяют знаки и равносильность.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Уравнения и неравенства с модулем» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Линейные и квадратные уравнения, теорема Виета
• Рациональные уравнения и метод интервалов для неравенств
• Иррациональные уравнения и неравенства
• Показательные уравнения и неравенства
• Логарифмические уравнения и неравенства
• Тригонометрические уравнения: отбор корней

← Предыдущая тема: Системы уравнений и неравенств
Следующая тема: Уравнения и неравенства с параметром

Все темы: ЕГЭ по математике