Тождественные преобразования выражений: ОГЭ по математике

Тождественные преобразования выражений — это замена выражения на другое, тождественно равное ему, для упрощения, приведения к нужному виду или подготовки к решению уравнений и задач. В ОГЭ проверяется умение применять формулы сокращённого умножения, свойства степеней, раскрытие скобок, приведение…

Что нужно знать

• Тождество — равенство, верное при любых допустимых значениях переменных.
• Тождественное преобразование — преобразование, не меняющее область допустимых значений и значение выражения при допустимых значениях переменных.
• Основные приёмы: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, вынесение общего множителя, группировка, применение формул сокращённого умножения.
• Формулы сокращённого умножения: (a±b)² = a² ± 2ab + b²; a² − b² = (a−b)(a+b); (a±b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³; a³ ± b³ = (a±b)(a² ∓ ab + b²).
• Свойства степеней: a^m · a^n = a^{m+n}; a^m : a^n = a^{m−n}; (a^m)^n = a^{mn}; (ab)^n = a^n b^n; (a/b)^n = a^n / b^n (b ≠ 0); a^0 = 1 (a ≠ 0); a^{−n} = 1/a^n (a ≠ 0).
• Порядок действий: сначала действия в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание; при наличии дробей — приведение к общему знаменателю.

Термины и понятия

• Тождество: равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных.
• Тождественно равные выражения: выражения, значения которых равны при любых допустимых значениях переменных.
• Тождественное преобразование: замена выражения тождественно равным ему выражением.
• Одночлен: произведение чисел, переменных и их степеней.
• Многочлен: сумма одночленов.
• Подобные слагаемые: слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть; их можно складывать, получая коэффициент-сумму.
• Формулы сокращённого умножения: тождества, позволяющие быстро умножать и раскладывать на множители некоторые многочлены.
• Алгебраическая дробь: выражение вида P/Q, где P и Q — многочлены, Q ≠ 0.

Частые ошибки

• Неправильное применение формул сокращённого умножения: путают квадрат суммы и разность квадратов, забывают удвоенное произведение.
• Ошибки со знаками при раскрытии скобок, особенно перед которыми стоит минус.
• Приведение подобных слагаемых с потерей коэффициента или знака.
• Сокращение дробей без предварительного разложения на множители (сокращают слагаемые, а не множители).

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Тождественные преобразования выражений» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Буквенные выражения и их значения
• Одночлены и многочлены, действия с ними
• Формулы сокращённого умножения
• Разложение многочленов на множители
• Алгебраические дроби, сокращение дробей
• Действия с алгебраическими дробями

← Предыдущая тема: Действия с алгебраическими дробями
Следующая тема: Линейные уравнения

Все темы: ОГЭ по математике