Вписанные и описанные многоугольники: ЕГЭ по математике

Вписанные и описанные многоугольники — это многоугольники, вершины которых лежат на окружности (вписанные) или стороны которых касаются окружности (описанные). Ключевые факты: для вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°, для описанного — суммы противоположных сторон…

Что нужно знать

• Вписанный многоугольник — все вершины лежат на окружности; описанный — все стороны касаются окружности.
• Вписанный четырёхугольник: сумма противоположных углов равна 180° (необходимое и достаточное условие).
• Описанный четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны (необходимое и достаточное условие).
• Для любого треугольника существуют вписанная и описанная окружности; их радиусы вычисляются по формулам: r = S/p, R = abc/(4S).
• Правильный n-угольник: радиус описанной окружности R = a/(2 sin(π/n)), вписанной r = a/(2 tg(π/n)), где a — сторона.
• Центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрис; описанной — точка пересечения серединных перпендикуляров.

Термины и понятия

• Вписанный многоугольник: многоугольник, все вершины которого лежат на данной окружности.
• Описанный многоугольник: многоугольник, все стороны которого касаются данной окружности.
• Вписанная окружность: окружность, касающаяся всех сторон многоугольника (многоугольник описан около неё).
• Описанная окружность: окружность, проходящая через все вершины многоугольника (многоугольник вписан в неё).
• Вписанный угол: угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
• Правильный многоугольник: выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.
• Апофема: радиус вписанной окружности правильного многоугольника; расстояние от центра до стороны.

Частые ошибки

• Путают свойства вписанного и описанного четырёхугольников: для вписанного — сумма углов 180°, для описанного — суммы сторон равны.
• Неверно применяют формулы радиусов: например, для описанной окружности треугольника используют r = S/p вместо R = abc/(4S).
• Забывают, что для вписанного угла берётся половина дуги, а не сама дуга.
• Ошибаются в определении центра вписанной/описанной окружности: путают биссектрисы и серединные перпендикуляры.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Вписанные и описанные многоугольники» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Треугольники: свойства, площади, теоремы синусов и косинусов
• Четырёхугольники: параллелограмм, трапеция, ромб
• Окружность и круг: углы, хорды, касательные
• Векторы и координаты на плоскости
• Метод координат и площадей в планиметрических задачах

← Предыдущая тема: Окружность и круг: углы, хорды, касательные
Следующая тема: Векторы и координаты на плоскости

Все темы: ЕГЭ по математике