Задание 15. Стереометрия: многогранники и тела вращения: ЕГЭ по математике

Задание 15 ЕГЭ по математике (профильный уровень) проверяет умение решать стереометрические задачи повышенного уровня сложности с развёрнутым ответом. Оно включает два пункта: а) доказательство геометрического факта (параллельность, перпендикулярность, принадлежность и т.п.) и б) вычисление…

Что нужно знать

• Определения и свойства многогранников: призма, пирамида, параллелепипед, куб, правильные многогранники.
• Определения и свойства тел вращения: цилиндр, конус, шар, сфера.
• Формулы объёма: призма V=S_осн·h, пирамида V=1/3·S_осн·h, цилиндр V=πR²h, конус V=1/3·πR²h, шар V=4/3·πR³.
• Формулы площади поверхности: призма S=2S_осн+S_бок, пирамида S=S_осн+S_бок, цилиндр S=2πR(R+h), конус S=πR(R+l), сфера S=4πR².
• Теоремы о параллельности прямых и плоскостей, признак параллельности прямой и плоскости, свойство параллельных плоскостей.
• Теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о трёх перпендикулярах, признак перпендикулярности плоскостей.

Термины и понятия

• Многогранник: тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.
• Пирамида: многогранник, одна грань которого — многоугольник (основание), а остальные грани — треугольники с общей вершиной.
• Призма: многогранник, две грани которого — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы.
• Правильная пирамида: пирамида, основание которой — правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
• Тело вращения: тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг оси.
• Цилиндр: тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
• Конус: тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
• Шар: множество точек пространства, находящихся на расстоянии не больше заданного от данной точки (центра).

Частые ошибки

• Неверное построение сечения: плоскость сечения не соответствует условию, линии пересечения проведены неправильно. Это приводит к неверным выводам и вычислениям.
• Отсутствие обоснований: ученик делает вывод о параллельности или перпендикулярности без ссылки на теоремы, что снижает баллы.
• Арифметические ошибки в вычислениях объёмов, площадей, углов. Даже при верном ходе решения приводят к потере баллов.
• Неверное определение угла между плоскостями: путают угол между плоскостями с углом между прямыми или берут не тот угол.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Задание 15. Стереометрия: многогранники и тела вращения» занимает 9 занятий по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Задание 14. не указано в тексте
• Задание 16. не указано в тексте
• Задание 17. Математическое моделирование: текстовые задачи
• Задание 18. Планиметрия (развёрнутое решение)
• Задание 19. не указано в тексте
• Задание 20. не указано в тексте

← Предыдущая тема: Задание 14. не указано в тексте
Следующая тема: Задание 16. не указано в тексте

Все темы: ЕГЭ по математике