Геометрическая прогрессия: ОГЭ по математике
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число (знаменатель). На ОГЭ проверяют умение находить члены прогрессии, знаменатель, сумму первых n членов, применять формулы в практических и текстовых…
Что нужно знать
- Определение: последовательность b1, b2, ..., bn, ... называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство b_{n+1} = b_n · q, где q — некоторое число (знаменатель прогрессии), b_n ≠ 0.
- Знаменатель прогрессии: q = b_{n+1} / b_n. Если q > 0, все члены одного знака; если q < 0, знаки чередуются.
- Формула n-го члена: b_n = b1 · q^{n-1}.
- Характеристическое свойство: для любого n ≥ 2 выполняется b_n^2 = b_{n-1} · b_{n+1} (квадрат среднего члена равен произведению соседних).
- Сумма первых n членов: S_n = b1 · (q^n - 1) / (q - 1) при q ≠ 1; если q = 1, то S_n = n · b1.
- Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1: S = b1 / (1 - q).
Термины и понятия
- Геометрическая прогрессия: последовательность ненулевых чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и…
- Знаменатель геометрической прогрессии: число q, на которое умножается каждый член прогрессии, чтобы получить следующий; q = b_{n+1}/b_n.
- Формула n-го члена: b_n = b1 · q^{n-1}, где b1 — первый член, q — знаменатель.
- Сумма первых n членов: S_n = b1 · (q^n - 1)/(q - 1) при q ≠ 1; при q = 1 S_n = n·b1.
- Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: геометрическая прогрессия, у которой |q| < 1; её сумма равна b1/(1 - q).
- Характеристическое свойство: b_n^2 = b_{n-1} · b_{n+1} для n ≥ 2.
Частые ошибки
- Путают геометрическую прогрессию с арифметической и применяют формулу a_n = a1 + (n-1)d вместо b_n = b1·q^{n-1}.
- Неверно определяют знак q: забывают, что q может быть отрицательным, и теряют один из корней при решении уравнения q^2 = c.
- Ошибки в показателе степени: используют q^n вместо q^{n-1} в формуле n-го члена.
- Неправильно применяют формулу суммы при q = 1 (делят на q - 1 = 0).
Как пройти тему
В курсе «Математика» тема «Геометрическая прогрессия» занимает 2 занятия по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.
Начать бесплатноОткрыть курсДругие темы раздела
← Предыдущая тема: Арифметическая прогрессия
Следующая тема: Основные понятия геометрии, аксиомы, углы